Encontrando el área de un triángulo usando la función seno
Usted esta familiarizado con la fórmula
para encontrar el
área de un triángulo
donde
b
es la longitud de una base del triángulo y
h
es la altura, o la longitud de la perpendicular a la base del vértice opuesto.
Suponga que el
tiene longitudes de lado
a
,
b
, y
c
. Digamos que
h
es la longitud de la perpendicular al lado de la longitud
b
del vértice
B
que conecta al lado
en
D
.
Entonces, el área
R
del triángulo
ABC
es
.
Ahora, observe el
.
Es un triángulo rectángulo con
hipotenusa
que tiene una longitud de
c
unidades.
Considere el seno de
.
Sustituyendo el valor de h en la fórmula para el área de un triángulo, obtiene
De forma similar, puede escribir fórmulas para el área en términos de sin C o sin B .
Ejemplo 1:
Encuentre el área de
.
Tiene las longitudes de dos lados y la medida del ángulo incluido. Así, puede usar la fórmula
donde
p
y
r
son las longitudes de los lados opuestos a los vértices
P
y
R
respectivamente.
Usando la fórmula del área,
.
Simplifique.
Por lo tanto, el área del
es alrededor de 3.44 cm cuadrados.
Ejemplo 2:
El área del
rectángulo con el ángulo recto en el vértice
Y
es de 39 unidades cuadradas.
Si
y
, resuelva el triángulo.
Primero, dibuje una figura con las medidas dadas.
Use el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del tercer lado del triángulo.
Ahora, Usted tiene las longitudes de los tres lados y el área del triángulo.
Sustituya en la fórmula del área.
Resuelva para Z .
Realice el inverso,
Esto es,
.
Dado que el ángulo en el vértice
Y
es un ángulo recto. Por lo tanto,
.
Usando el teorema de la suma de ángulos del triángulo , la medida del tercer ángulo es,
Por lo tanto, la medida de
es
.
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