Resolviendo sistemas de ecuaciones lineales por eliminación

Sistemas de ecuaciones lineales:

Un sistema de ecuaciones lineales es solo un conjunto de dos o más ecuaciones lineales.

En dos variables ( x y y ), la gráfica de un sistema de dos ecuaciones es una pareja de rectas en el plano.

Hay tres posibilidades:

• Las rectas no se intersectan en ningún punto. (Las rectas son paralelas.)
• Las rectas se intersectan en exactamente un punto. (La mayoría de los casos.)
• Las rectas se intersectan infinitamente en muchos puntos. (Las dos ecuaciones representan la misma recta.)

Como resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de eliminación (también llamado el método de la suma, o el método de la combinación lineal)

• Paso 1: Sume (o reste) un múltiplo de una ecuación a (o de) la otra ecuación, de tal forma que ya sea que los términos en x o los términos en y se eliminen.
• Paso 2: Luego resuelva para x (o y , la que sea que quede) y sustituya de nuevo para obtener la otra coordenada.

Ahora, como sabemos que una ecuación lineal obtenida por la suma de la primera ecuación con una multiplicación escalar de la segunda es equivalente a la primera?

Hagamos un ejemplo. Considere el sistema

.

Considere la ecuación obtenida al multiplicar la segunda ecuación por una constante y luego sume la ecuación resultante con la primera.

Esto es, .

Que necesitamos probar para que esta ecuación sea equivalente a la ecuacón .

Tenemos .

Ya que , reste del lado izquierdo y del lado derecho de la ecuación la cual contendrá el balance.

Eliminando términos semejantes obtenemos, que es equivalente a la primera ecuación.

Por lo tanto, los sistemas de ecuaciones y son equivalentes.

En general, para cualesquiera sistemas de ecuaciones y , puede demostrarse que es equivalente a .

Multiplique la primera ecuación por –2 y sume el resultado a la segunda ecuación.

   –8 x – 6 y = 4

     8 x – 2 y = 12

      –8 y = 16

Resuelva para y .

         y = –2

Sustituya para y en cualquiera de las ecuaciones originales y resuelva para x .

   4 x + 3(–2) = –2

         4 x – 6 = –2

          4 x = 4

            x = 1      

La solución es (1, –2).