Decaimiento exponencial

Los modelos de decaimiento exponencial aplican para cualquier situación donde el decaimiento (disminución) es proporcional al tamaño actual de la cantidad de interés. Tales situaciones son encontradas en biología, negocios, química y las ciencias sociales.

Los modelos de decaimiento exponencial también son usados muy comúnmente, especialmente para el decaimiento radioactivo, concentración de drogas en la sangre, la depreciación del valor.

Decaimiento radioactivo

Los problemas de decaimiento radioactivo son a menudo dados en términos de la vida media de un elemento radioactivo. Esto está modelado por la ecuación:

donde N ₀ es la cantidad inicial del elemento, N es la cantidad remanente después de t años, y τ es la vida media.

Ejemplo:

Si Usted comienza con una cantidad de un elemento inestable Potasio-40, le toma 1.26 billones de años de vida media para decaer en Argon-40. Así la vida media del Potasio-40 es de 1.26 billones de años.

Escriba un modelo de decaimiento exponencial para encontrar el número de átomos de Potasio-40 remanentes después de t años, si comienza con 2000 átomos de Potasio-40.

Aquí, N ₀ = 2000 y τ = 1,260,000,000. Así el modelo es:

Math diagram

Concentración de drogas

Para problemas de concentración de drogas, puede dársele la fracción p de la cantidad original de la droga existente en la sangre después de una unidad de tiempo. En este caso, la situación está modelada por la ecuación

y = Ap ^t ,

donde y es la concentración remanente después del tiempo t , y A es la cantidad inicial .

Ejemplo:

Si una persona toma A miligramos de una droga en el tiempo 0, entonces y = A (0.8) ^t da la concentración existente en la sangre después de t horas. Si la dosis inicial es de 200 mg, cuál es la concentración de la droga en la sangre después de 4 horas?

Sustituya.

y = 200(0.8) ⁴

Quizá desea una calculadora!

y = 200(0.4096)

y = 81.92

Así hay alrededor de 82 miligramos de la droga existente en la sangre después de cuatro horas.

Depreciación

Si el valor de algún artículo (por ejemplo, un carro), originalmente es $ C , se deprecia x % por año, entonces el valor después de t años está dado por la fórmula:

y = C (1 – x /100) ^t

Ejemplo:

El valor original de un carro es de $28,000. Si se deprecia al 15% cada año, encuentre su valor en 4 años.

Sustituya.

y = 28000(1 – 0.15) ⁴

y = 28000(0.85) ⁴

y = 28000(0.52200625)

y = 14616.175

Así después de cuatro años, el carro vale alrededor de $14,616.