Números y polinomios relativamente primos

Se dice que dos números son relativamente primos si su factor común más grande ( FCG ) es 1.

Ejemplo 1:

Los factores de 20 son 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

Los factores de 33 son 1, 3, 11, y 33.

El único factor común es 1. Así, el FCG es 1.

Por lo tanto, 20 y 33 son relativamente primos.

Ejemplo 2:

Los factores de 45 son 1, 3, 5, 9, 15, y 45.

Los factores de 51 son 1, 3, 17, y 51.

El factor común más grande aquí es 3.

Por lo tanto, 45 y 51 no son relativamente primos.

La definición puede ser extendida a los polinomios . En este caso, no debe haber variable común o factores polinomiales, y los coeficientes escalares deben tener un FCG de 1.

Ejemplo 3:

El polinomio 3 x ² + 21 x + 18 puede ser factorizado como

3 x ² + 21 x + 18 = 3( x + 1)( x + 6).

El polinomio 5 x + 10 puede ser factorizado como

5 x + 10 = 5( x + 2).

3 y 5 son relativamente primos, y ninguno de los factores del binomio se comparten. Así, los dos polinomios

3 x ² + 21 x + 18 y 5 x + 10

son relativamente primos.

Ejemplo 4:

El polinomio x ² + 3 x – 4 puede ser factorizado como

x ² + 3 x – 4 = ( x + 1)( x – 4).

El polinomio 3 x ² + 21 x + 18 puede ser factorizado como

3 x ² + 21 x + 18 = 3( x + 1)( x + 6).

Los dos polinomios comparten un factor binomial:
( x + 1).

Así

x ² + 3 x – 4 y 3 x ² + 21 x + 18

no son relativamente primos.