Factorizar

Puede usar la ley distributiva para ver que

3(4 n + 5) = 12 n + 15,

y puede usar el FOIL para ver que

( n + 2)( n + 3) = n ² + 5 n + 6.

Pero como puede iniciar con la respuesta y encontrar los factores?

Factorizando x ² + bx + c cuando b y c son positivos

Esto puede ser hecho (factorizado) al encontrar dos números cuya suma es 8 y el producto es 15: use 3 y 5. Así obtenemos:

n ² + 8 n + 15

= n ² + 3 n + 5 n + 15 . . . . ahora factorice los factores comunes en parejas

= n ( n + 3) + 5( n + 3) . . . . use la Propiedad Distributiva

= ( n + 5)( n + 3) . . . . . . . el término ( n + 3) fue el factor común!

Necesitamos dos números cuyo producto es 100 y la suma es 37.

100 = (100)(1); 100 + 1 = 101

100 = (50)(2) ; 50 + 2 = 52

100 = (25)(4) ; 25 + 4 = 29

100 = (20)(5) ; 20 + 5 = 25

100 = (10)(10); 10 + 10 = 20.

Parece ser que 37 nunca saldrá como suma, así x ² + 37 x + 100 no puede ser factorizada (esto es, es un polinomio irreducible).

Pero puede ver como factorizaría x ² + 29 x + 100?

Factorizando x ² + bx + c cuando b es negativa, c es positiva

En este caso, necesita dos números negativos, para que su producto sea positivo pero su suma sea negativa.

Las parejas de factores negativos para 10 son:

10 = (–10)(–1) ; –10 – 1 = –11

10 = (–5)(–2) ; –5 – 2 = –7

Así el polinomio puede factorizarse como

x ² – 7 x + 10 = ( x – 2)( x – 5).

Factorizando x ² + bx + c cuando c es negativa

En este caso, necesita dos números con signos opuestos (para que su producto sea negativo).

Aquí necesitamos encontrar dos números con signos opuestos que tengan a –16 como un producto y a 6 como una suma.

Las parejas de factores para –16 son:

–16 = (–16)(1) ; –16 + 1 = –15

–16 = (–8)(2) ; –8 + 2 = –6

–16 = (–4)(4) ; –4 + 4 = 0

–16 = (–2)(8) ; –2 + 8 = 6

–16 = (–1)(16); –1 + 16 = 15

–2 y 8 funcionan. Así podemos factorizar el polinomio como

x ² + 6 x – 16 = ( x – 2)( x + 8).

Aquí necesitamos encontrar dos números con signos opuestos que tengan a –20 como un producto y –1 como una suma.

Las parejas de factores para –20 son:

–20 = (–20)(1) ; –20 + 1 = –19

–20 = (–10)(2) ; –10 + 2 = –8

–20 = (–5)(4) ; –5 + 4 = –1

–20 = (–4)(5) ; –4 + 5 = 1

–20 = (–2)(10) ; –2 + 10 = 8

–20 = (–1)(20) ; –1 + 20 = 19

–5 y 4 funcionan. Así podemos factorizar el polinomio como

x ² – x – 20 = ( x – 5)( x + 4).

Factorizando ax ² + bx + c , a ≠ 1

Las cosas se complican un poco más en este caso. Necesitamos encontrar dos números cuyo producto es igual al producto del coeficiente principal y a la constante y cuya suma sea igual al coeficiente del término x.

Multiplique el coeficiente principal por la constante

     (14)(5) = 70

Encuentre las parejas de factores que multiplicados dan 70 y sumados dan –37.

     –2 y –35

Reemplace por el término de enmedio.

     14 x ² – 2 x – 35 x + 5
Factorice los factores comunes en parejas y use la Propiedad Distributiva.

    (14 x ² – 2 x ) – (35 x – 5 )

    2 x (7 x – 1) – 5(7 x – 1 )
     
De nuevo, use la Propiedad Distributiva.    

    (7 x – 1)(2 x – 5)

Vea también factorizando por grupos y polinomios irreducibles .