Graficando ecuaciones cuadráticas usando la factorización

Una ecuación cuadrática es una ecuación polinomial de grado 2. La forma estándar de una ecuación cuadrática es

0 = ax ² + bx + c

donde a, b, y c son todos los números reales y a ≠ 0.

Si reemplazamos 0 con y , entonces obtenemos una función cuadrática

y = ax ² + bx + c

cuya gráfica será una parábola .

Los puntos donde la gráfica intersecta el eje de las x serán las soluciones a la ecuación, ax ² + bx + c = 0. Esto es, si el polinomio ax ² + bx + c puede factorizarse como ( x – p )( x – q ), sabemos por la propiedad del producto cero que si ( x – p )( x – q ) = 0, ya sea que ( x – p ) = 0 o ( x – q ) = 0. Entonces p y q son las soluciones a la ecuación ax ² + bx + c = 0 y por lo tanto las intercepciones en x de la ecuación cuadrática.

Ya que la coordenada en x del vértice de una parábola es exactamente el punto medio de las intercepciones en x , la coordenada en x del vértice será Math diagram .

Puede usar la coordenada en x del vértice para encontrar la coordenada en y .

Ahora Usted tiene el vértice y otros 2 puntos en la parábola (llamémoslos, las intercepciones en x ). Puede usar estos tres puntos para dibujar la gráfica.

Ejemplo 1:

Grafique la función Math diagram usando la factorización.

Compare la ecuación con la forma estándar, y = ax ² + bx + c . Ya que el valor de a es positivo, la parábola abre hacia arriba.

Factorice el trinomio, Math diagram . Identifique 2 números cuya suma es –8 y el producto es 12. Los números son –2 y –6. Esto es, .

Math diagram

Así, por la propiedad del producto cero, ya sea que x - 2 = 0 o x - 6 = 0. Entonces las raíces de la ecuación son 2 y 6.

Por lo tanto, las intercepciones en x de la función son 6 y 2.

La coordenada en x del vértice es el punto medio de las intercepciones en x . Así, aquí la coordenada en x del vértice será Math diagram .

Sustituya x = 4 en la ecuación Math diagram para encontrar la coordenada en y del vértice.

Math diagram

Esto es, las coordenadas del vértice son (4, –4).

Ahora tenemos 3 puntos (4, –4), (2,0) y (6,0) que están en la parábola. Grafique los puntos. Únalos por una curva suave y extienda la parábola.

Math diagram

Ejemplo 2:

Grafique la función Math diagram usando la factorización.

Compare la ecuación con la forma estándar, y = ax ² + bx + c . Ya que el valor de a es positivo, la parábola abre hacia arriba.

Factorice el trinomio, Math diagram .

Primero, factorice –1.

Math diagram

Factorice la expresión dentro del paréntesis. Identifique 2 números cuya suma es 2 y el producto es –8. Los números son 4 y -2. Esto es, Math diagram .

Entonces, la función dada se convierte en Math diagram .

Así, y = 0 implica, por la propiedad del producto cero, x + 4 = 0 o x - 2 = 0.

Por lo tanto, las intercepciones en x de la gráfica son –4 y 2.

La coordenada en x del vértice de una parabola es el punto medio de las intercepciones en x . Así, aquí la coordenada en x del vértice será Math diagram .

Sustituya x = -1 en la ecuación Math diagram para encontrar la coordenada en y del vértice.

Math diagram

Así, las coordenadas del vértice son (–1, 9).

Ahora tenemos 3 puntos (–1, 9), (–4, 0) y (2, 0) que están en la parábola. Grafique los puntos. Únalos por una curva suave y extienda la parábola.

Math diagram